2017/04/25

El ritmo justo del azar


El azar, el puro azar tiene su "ritmo" justo de cambio. Ni más, ni menos. Lo podremos "tentar" ofreciéndole más y más grados de libertad ... él los tomará, pero no conseguiremos ni retrasar, ni acelerar su ritmo bajo ningún concepto. Siempre seguirá fiel a sus "principios", que básicamente son muy sencillos. En cierta forma nos está dando una lección que deberíamos aprender. Referido al movimiento browniano y a su capacidad de recubrir dos dimensiones. Cuando lo trasladamos a dimensiones superiores sigue desplazándose por todas las dimensiones posibles, pero sólo es capaz de seguir recubriendo dos, contra lo que podría parecer.

Cada vez que lanzamos una moneda al azar puede salir cara o cruz, independientemente del resultado que hayamos obtenido en un lanzamiento anterior. Así de simples son las leyes que rigen el puro azar.

A partir de los resultados que vayamos obteniendo en sucesivos lanzamientos podemos confeccionar una tabla como la de la figura, que se corresponde con una tanda de 100 lanzamientos. Esta tabla y la que vamos a considerar, que en general puede contener miles de resultados es algo estático, sin movimiento, pero nos ayudará a desentrañar los entresijos del movimiento al azar que llamamos movimiento browniano, en honor al naturalista escocés Robert Brown que lo observó a principios del siglo XIX, cuando estudiaba suspensiones en el agua de granos de polen y esporas de musgos. Es un movimiento en zig zag, arbitrario, hacia cualquier dirección posible de desplazamiento.

A partir de una tabla, como la de la figura, tomaremos parejas consecutivas de unos y ceros.La primera parte de la pareja será la x y la otra la coordenada y. Los unos significarán "avanza 1" y los ceros querrán decir "retrocede 1". En un plano partiremos del punto (0,0) y conforme vayamos traduciendo la tabla a movimientos en el plano estaremos representando el movimiento aleatorio que hemos llamado browniano.



Azar y dimensión fractal
En un movimiento lineal cada uno de los puntos de su trayectoria viene definido por un solo número que nos indica su distancia al origen, se habla de que tiene una dimensión (el largo). En un plano necesitamos dos números para identificar cada uno de sus puntos, las coordenadas x/y o el largo y el ancho, por lo que decimos que tiene dos dimensiones. El movimiento browniano, como movimiento lineal que es tiene dimensión topológica 1, pero asombrosamente es capaz de recubrir el plano, de llenarlo. De ahí que digamos que su dimensión como fractal sea 2, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 2. A las figuras tan tortuosas e intrincadas como este movimiento aleatorio, Benoit Mandelbrot las llamó fractales, del latín "fractus" que significa fracturado o roto, discontinuo.Y este movimiento es, sin lugar a dudas, muy buen representante de esta nueva categoría de objetos geométricos omnipresentes en la naturaleza.

Cada momento el movimiento aleatorio avanza o retrocede en sus coordenadas x ó y, independientemente de lo que hiciera en el instante anterior, tiene absoluta libertad para desplazarse a través de cada una de las coordenadas. Esta idea se tiende a trasladar cuando el movimiento ocurre en un espacio de tres dimensiones como nuestro espacio ordinario, o de más dimensiones, y es correcta. De la misma forma tendemos a pensar que, también, en un espacio tridimensional el movimiento browniano será capaz de llenarlo, o cubrirlo, por completo. Esa es la idea que tenía yo al empezar a estudiarlo y la idea que ha tratado de defender algún lector, en alguna ocasión, a capa y espada, pero como demostraremos es una idea equivocada.

La magia del número 2
El valor 2 que caracteriza la dimensión fractal de este movimiento, también se puede definir de una manera muy intuitiva: necesita realizar N2 pasos para alejarse de un punto cualquiera de referencia, sólo, N pasos efectivos. En tres dimensiones debería efectuar N3 pasos totales para alejarse, sólo, N pasos efectivos, pero como veremos eso no depende del número de dimensiones o grados de libertad sino de una característica independiente de las propias del espacio en que se mueve. Para demostrar esto nos fijaremos en la definición intuitiva que relaciona la distancia total con la efectiva.


La distancia total que recorre la partícula animada por un movimiento browniano es proporcional al número de pasos N, sin embargo la distancia efectiva se encontraría después de sumar los desplazamientos positivos y negativos. Para definir el resultado de esa suma existe una medida de dispersión apropiada que llamamos desviación típica, que para la distribución binomial con la que se corresponde el azar como lo hemos considerado resulta ser la raíz_cuadrada(N/4), pues es igual a raíz_cuadrada(Npq), siendo n = p = 1/2, ya que la posibilidad de que salga 0 ó 1 es la misma, y su suma debe ser la unidad.

Después de N pasos, la distancia efectiva para cada dimensión, considerada independiente, será raíz_cuadrada(N/4). Si consideramos 3 dimensiones la distancia efectiva será raíz_cuadrada(3 N/4). Esta magnitud la comparamos con la distancia total recorrida después de los N pasos: N raíz_cuadrada(3). Para N suficientemente grande sólo resulta significativa la comparación entre N y raíz_cuadrada de N, independientemente de que multipliquemos los dos términos por 3, 4, 5, ... d, cualquiera que sean las dimensiones del espacio considerado. De la comparación anterior resulta el valor de 2 de su dimensión fractal, o la consideración de realizar N2 pasos totales para sólo conseguir N efectivos.

RecapitulandoEl movimiento browniano sólo es capaz de recubrir un espacio de 2 dimensiones (un plano). En un espacio de 3 ó más dimensiones su "ritmo" de distanciamiento de cualquier punto arbitrario, que consideremos como referencia, no es lo suficientemente "lento" para poderlo recubrir. Para recubrir un espacio de 3 dimensiones su ritmo de distanciamiento debería ser de N3 pasos totales para recorrer sólo N (dimensión fractal 3), para un espacio de 4 dimensiones serían N4 pasos totales para sólo N efectivos, y así sucesivamente. Sin embargo, el ritmo del movimiento lo imprime la desviación típica de la distribución binomial, que no depende de la dimensión del espacio, y cuyo valor es invariablemente igual a la raíz_cuadrada (N/4). Por eso, sea cualquiera el espacio considerado con tres o más dimensiones la dimensión fractal del movimiento browniano seguirá siendo 2. Para aumentar la dimensión fractal del movimiento deberíamos conseguir que cada nuevo paso tuviera "memoria" del resultado de los pasos anteriores y así disminuir su "ritmo" de alejamiento. Es como si en una carrera de 2 Km. nos obligaran a cumplimentar 200 tareas diferentes a lo largo de diferentes puntos del trayecto. Para una cierta velocidad conseguimos cumplimentar sólo 100 tareas y nos damos cuenta que para cumplimentar las 200 debemos disminuir el ritmo, o de lo contrario será imposible. De la misma manera el azar tiene su "ritmo" y ese ritmo sólo le permite recubrir un plano, no un espacio de 3 ó más dimensiones.

2017/04/03

Sobre la ciencia de la información cuántica


La ciencia de la información cuántica ha descubierto que el entrelazamiento o coherencia es, como la energía, un recurso cuantificable que posibilita tareas de procesado de información: algunos sistemas tienen un poco de entrelazamiento, otros mucho. Cuanto mayor sea el entrelazamiento disponible, más valdrá un sistema para el procesado cuántico de la información.

Esta ciencia es lo bastante nueva para que se esté aún intentando aprehender su auténtica naturaleza. Si llegamos a conocer los principios generales o leyes del entrelazamiento o coherencia cuántica sabremos interpretar la complejidad de los sistemas cuánticos.

La transición entre lo cuántico y lo clásico, en los sistemas complejos con muchas partes constituyentes, ocurre porque los grandes sistemas cuánticos interaccionan fuertemente con su entorno y sufren un proceso de decoherencia o pérdida del entrelazamiento que destruye las propiedades cuánticas del sistema. La clave para que un sistema complejo presente un comportamiento verdaderamente cuántico consiste en aislar muy bien el sistema del resto del mundo, de forma que se evite la decoherencia y se preserven los frágiles estados cuánticos. Conforme sea más complejo el sistema más difícil será aislarlo de las interacciones del medio y de hecho los grandes sistemas, practicamente todos los objetos que nos encontramos a nuestro alrededor por pequeños que sean, han perdido su coherencia cuántica y presentan un comportamiento puramente clásico. Esa es la mayor dificultad a la hora de construir un ordenador cuántico, los qubits cuanto más sean tanto más difícil será mantener su coherencia y su funcionamiento cuántico.

Existen fenómenos que ofrecen ejemplos de sistemas cuánticos grandes bien aislados, entre ellos la superconductividad, el efecto Hall cuántico y el condensado de Bose-Einstein. Estos fenómenos demuestran que las reglas sencillas de la mecánica cuántica pueden dar lugar a principios emergentes que gobiernan comportamientos complejos.


El recurso fundamental en el tratamiento de la información cuántica es el qubit, objeto cuántico ideal que proviene de la mecánica cuántica. Sus propiedades son independientes del soporte físico sobre el que se trate, sea el espín de un núcleo atómico o de la polarización de un electrón. Cualquier objeto que tenga dos estados diferentes, necesariamente, poseerá además un conjunto de otros estados posibles conocidos como superposiciones, que incluyen ambos estados en grados distintos, tal como veíamos en el post anterior al definir el qubit. El continuo de estados entre el 0 y el 1 causa muchas de las extraordinarias propiedades de la información cuántica.

Los qubits individuales son interesantes, pero cuando se combinan varios entrelazándose aparece un comportamiento aún más fascinante. Estos estados entrelazados poseen propiedades fundamentalmente distintas de las que caracterizan a cualquier ente de la física clásica. Para Schrödinger, el del famoso gato, el entrelazamiento no era un rasgo característico, sino el rasgo carcterístico de la mecánica cuántica, el que la aparta por completo de las líneas de pensamiento clásicas.

Los objetos entrelazados se comportan como si estuvieran conectados entre sí, con independencia de lo alejados que se hallen el uno del otro, pues la distancia no atenúa lo más mínimo el entrelazamiento. Si se realiza una medición sobre un ente entrelazado con otros objetos, nos proporcionará a la vez información acerca de éstos. Sin embargo el entrelazamiento no vale para enviar señales más deprisa que la velocidad de la luz, pues la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica desbarata tal posibilidad.


En 2001, Benjamin Schumacher, del Kenyon College, planteó que los elementos esenciales de la ciencia de la información, tanto clásica como cuántica, se resumían en un procedimiento que abarca tres etapas:
1. Identificar un recurso físico. Una cadena de bits o qubits codificados mediante objetos físicos reales (en nuestro caso los dos estados fundamentales de un átomo, o del spin de un electrón, por ejemplo, que pueden codificar un qubit).
2.Identificar una tarea de procesado de información que pueda realizarse gracias al recurso físico del paso (1).
3.Identificar un criterio que establezca cuándo ha tenido éxito la tarea del paso (2).

La pregunta fundamental de la ciencia de la información dice, pues:¿Cuál es la mínima cantidad de recurso físico (1) que necesitamos para realizar la tarea de procesado de información (2) cumpliendo el criterio de éxito (3)?.

En 1948 Claude E. Shannon resolvió el problema fundamental sobre la información clásica: ¿Cuál es el mínimo número de bits necesarios para almacenar la información producida por una fuente?. Sus trabajos fundaron la teoría de la información, y su expresión matemática del contenido de información recibe hoy el nombre de entropía de Shannon.La clave de nuestra nueva ciencia la tiene la calibración del entrelazamiento de los qubits(*). Las medidas cuantitativas del entrelazamiento están demostrando una enorme utilidad como conceptos unificadores en la descripción de una amplia gama de fenómenos. Podemos analizar el flujo de entrelazamiento, de un subsistema a otro, que se requiere para ejecutar un determinado proceso de información, de forma parecida a como estudiamos el flujo de energía entre distintas partes de un sistema, pues el entrelazamiento de un estado se puede transmitir a otro tal como fluye la energía.

Información y física:

Como ya pasó con la entropía termodinámica que se ha demostrado íntimamente relacionada con la cantidad de información soportada por un sistema físico, y que nos ha dado una referencia inestimable para estudiar la propia física de los agujeros negros, y con ellos para avanzar con la intrincada y aún no resuelta gravedad cuántica, el concepto de entrelazamiento en relación con el tratamiento de la información cuántica puede ayudarnos a desentrañar los secretos de la extraña mecánica cuántica. Algo tan etéreo como el concepto de la información parece estar íntimamente relacionado con las leyes más fundamentales de la física.

(*)El E-Bit estándar:

Cuando dos qubits están entrelazados, ya no tienen estados cuánticos individuales. En su lugar, se define una relación entre qubits. En un par de qubits máximamente entrelazado, los qubits dan resultados opuestos cuando se los mide. Si uno da 0, el otro da 1, y viceversa. Un par máximamente entrelazado tiene un "e-bit" de entrelazamiento, una especie de unidad de medida del entrelazamiento de un sistema cuántico.

Algo de "mágia" mecanico-cuántica:

- Si dos monedas pudieran estar "entrelazadas" como dos partículas cuánticas, cada par entrelazado daría el mismo resultado, aún cuando se lanzaran a años luz de distancia o en instantes muy diferentes: una moneda daría cara y la otra cruz.

Fenómenos Cuánticos. Investigación y Ciencia. Temas 31

Nueva edición de un antiguo post, dada la actualidad de la computación cuántica. Un abrazo amigos.