2012/01/02

Polvo fractal con dimensión entera

Como comentaba en el post sobre el “Vacío cuántico, vacío fractal ”, la existencia del cuanto de acción ha destruido por completo la propia noción de trayectoria clásica.Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

En algunos foros he leído que no se entendía bien lo de la dimensión fractal entera, en este caso 2, pero tal como indicaba en la expresión general de la dimensión fractal:

Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional


(El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal: indica la capacidad de ocupar más espacio del que indica su propia dimensión topológica)

Si el factor dimensional es entero, también lo será la dimensión fractal. Eso es lo que ocurre con las trayectorias virtuales en mecánica cuántica y también en una serie de fractales típicos, como puede ser el fractal del movimiento browniano en un plano (dimensión fractal 2) o la curva de Peano (dimensión fractal 2) que tiene más de 100 años de existencia.


Si una curva clásica tiene dimensión topológica 1, cuando hablamos de curvas fractales con una dimensión entre 1 y 2 estamos indicando que son capaces de ocupar parte del plano. Y es precisamente esa capacidad la que viene expresada por el factor dimensional. En el caso de la curva de Peano o del movimiento browniano, en el límite, ocupan todo el plano, de ahí que su dimensión fractal sea 2 , la propia dimensión del plano.

Como ejemplo, todavía más llamativo, observamos en la figura un fractal clásico ( el primero que se conoce), el polvo de Cantor que toma toma su nombre de Georg Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.






A partir de una recta se le van quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de polvo. Si restablecemos de forma escalonada el segmento que antes le quitábamos, el nuevo fractal sigue teniendo estructura quebrada y autosemejante , pero ahora en lugar de tener una dimensión fractal igual a log 2/ log 3 tiene una dimensión entera: log 3/ log 3 =1. Nos ayuda, también, a entender como se calcula, de forma práctica, la dimensión fractal de una figura.

Esta otra figura es una síntesis de dos de los fractales clásicos, Koch y Cantor, y nos ayuda de forma intuitiva a entender el cálculo de su dimensión fractal. En la figura original de Koch, sobre los segmento A1-B1-D1-E1 se construye la figura que forman los segmentosA-B-C-D-E. Su dimensión fractal es log 4/ log 3 ( cuatro segmentos sobre tres). En la nueva construcción se ha sustraido 1/4 de cada uno de los segmentos superiores para dejar 4 segmentos de longitud 3/4: al final son 3 sobre 3 ( log 3/ log 3 = 1).

Se pueden construir infinidad de fractales con dimensión entera y, precisamente, esa irregularidad que representa una dimensión fractal entera en un fractal creo que nos ayuda a entendelos mejor.

Reedición de uno de mis post clásicos. Feliz año amigos.

3 comentarios:

jordicuest dijo...

Muy interesante la idea del espacio-tiempo fractal, no lo conocía, me he enterado ahora por tu excelente artículo del polvo fractal. He leído (por encima) el artículo de Nottale y veo que en efecto la dimensión fractal puede explicar las trayectorias erráticas de las partículas, pero lo que no entiendo es cómo puede explicar la interferencia (experimento de la doble rendija), eso no lo veo.

Por cierto, acabo de escribir un artículo introductorio a la mecánica cuántica y en el apartado de interpretaciones he añadido el espacio fractal y te he referenciado.

Saludos.

Salvador dijo...

Gracias Jordi.Supongo que cuando hablamos de trayectorias debemos descartar el efecto onda.
Un abrazo y feliz año.

zefirol dijo...

Bosson=eter???