2017/02/21

Fractales por dislocación o desplazamiento

Fractal by displacement

 
Georg Cantor
En 1884, Cantor, y en 1904, Koch engendraron una especie de monstruos o quimeras, unas figuras intermedias entre puntos y líneas, líneas y superficies, o superficies y volúmenes, a las que Mandelbrot llamó fractales. Para ellas, en general, su dimensión de Hausdorff (y Besicovitch) o dimensión fractal es una fracción, y su valor es diferente a su dimensión topológica y normalmente mayor.


La dimensión fractal nos indica la parte del espacio que es capaz de cubrir un fractal. De hecho, cuando decimos que un fractal tiene dimensión 1,237 queremos decir que ocupa más que una recta (dimensión 1) y menos que un plano (dimensión 2). El valor de la dimensión fractal podría decirse que se forma a partir de dos sumandos, uno es la dimensión topológica del objeto matemático que lo forma y el otro depende de la irregularidad que presente el fractal. Existen curvas fractales de dimensión 2, capaces por tanto de cubrir el plano. El movimiento browniano de hecho tiene dimensión fractal 2 y es sumamente intrincado e irregular, el factor dimensional que se suma a la dimensión topológica (dimensión 1) es, también, de valor 1.


Durante más de 50 años se han estudiado fractales cuya dimensión suele ser no entera, y uno de los primeros fue el monstruo de Cantor (polvo de Cantor) que vemos en la figura siguiente. Se parte de un segmento al que quitamos su tercio central. En las siguientes iteraciones volvemos a repetir la operación con los segmentos resultantes y así hasta el infinito. Se obtienen infinitos segmentos que tienden a cero longitud (infinitos puntos). Su dimensión fractal es:

 Dim_fractal = log (2)/ log (3) = 0,6309297 , pues del segmento original de valor 3 sólo tomamos los 2 tercios extremos.






¿Pero qué pasaría si el tercio central no lo eliminamos sino que sólo lo desplazamos? Ahora tendríamos un polvo de Cantor modificado tal como lo vemos en la figura siguiente. ¿Cuál sería ahora su dimensión fractal? Fijándonos en cómo la hemos calculado antes, ahora del segmento original de valor 3 no eliminamos ningún tercio, por lo que su dimensión sería:




Dim_fractal = log (3) / log (3) = 1. Y es lógico, porque el fractal sigue ocupando el mismo espacio que el segmento original, aunque pulverizado.



Helge von Koch

Hemos realizado la dislocación o desplazamiento de un objeto matemático de una dimensión, un segmento, y hemos obtenido así una especie de polvo de Cantor modificado, pero puede conseguirse el mismo efecto con una figura geométrica de dimensión 2 ó de dimensión 3. En sucesivos post veremos un caso de dislocación de un cuadrado (dos dimensiones) y de un cubo (tres dimensiones). 


Los objetos geométricos que conseguimos de esta forma tienen autosemejanza en todas las escalas como los típicos fractales geométricos, pero su dimensión sigue siendo la misma que la de la figura inicial de la que proceden, es decir siguen siendo de dimensión entera.

Un saludo amigos.Os remito a un antiguo post en el que ya trataba este tema. La curva de Koch, también llamada copo de nieve de Koch, veremos que nos permite construir un fractal por desplazamiento similar a dicha curva.

2017/01/02

Fractales, una geometría natural

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano. 


Con los fractales, en cierta manera, deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.
Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.

La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio. El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión 1,25. De hecho, si seguimos arrugándolo más aumentaremos su dimensión fractal y cuando esté cercana a 2 habremos conseguido llenar, casi por completo, una superficie con el hilo. Un fractal clásico de este tipo es la llamada curva de Peano.


Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

Como curiosidad, la expresión es así de sencilla: Valor posterior = (valor anterior) 2 + constante (Con una condición restrictiva).

La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la Naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

Verdaderas maravillas de arte fractal.

De mi colaboración con Libro de Notas, la columna mensual cienciasyletras.

Feliz año amigos!!!

2016/12/19

Estructuras disipativas, método científico y entropía



De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y, en cierta forma, las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías


Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.


Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).


Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.
Reedición del post del mismo nombre. Felices fiestas amigos.

2016/11/18

Nota al margen: Historia, dignidad y efecto mariposa

Estamos atravesando una grave crisis mundial de la que nadie está seguro cómo saldremos. Se analizan cifras macroeconómicas y se diseñan planes para estabilizar el sistema, pero nada funcionará si no se tiene en cuenta el principal factor que subyace en toda crisis de un sistema: el factor humano, un factor a la vez estabilizante y desestabilizador.
Lo asombroso de la historia
Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo.

Efecto mariposa
En física existen unos sistemas que son sumamente sensibles a las condiciones iniciales. Por muy bien que se conozcan las variables que van a influir en su desarrollo, por muy sofisticados que lleguen a ser los instrumentos que las midan, siempre habrá una mínima incertidumbre que influirá, decisívamente, en el desarrollo posterior del sistema. Una mínima causa será capaz de desencadenar grandes consecuencias. Ese efecto es conocido, popularmente, con el nombre de “efecto de la mariposa”. De forma exagerada, pero muy gráfica, se explica que el simple vuelo de una mariposa, en África, puede desencadenar, con el tiempo, un huracán en China. El primero de esos sistemas que se estudió, allá por los años sesenta, fue el tiempo metereológico.

Efecto mariposa e historia
Desde el primer momento, en que tuve conocimiento de este curioso tipo de sistemas físicos, me recordó al propio devenir de la historia. Conocemos miles de pequeñas anécdotas que influyeron, decisivamente, en el posterior desarrollo de acontecimientos sumamente importantes. Cualquiera de esas minúsculas causas, al desarrollarse de modo distinto, habría cambiado el destino de cualquier país o del mundo. La historia ha transcurrido, durante miles de años, cuajada de millones de acontecimientos de mayor o menor significado, entrelazados de forma aleatoria o no. En muchos sentidos, podría ser considerada como un sistema “muy sensible a las condiciones iniciales”, un sistema no lineal y con infinidad de realimentaciones. Afortunadamente, los manipuladores que intentan, e intentarán, cambiar el destino de las naciones, difícilmente, podrán tener en cuenta todas las variables necesarias para conseguir su propósito. A muy corto plazo puede que sus cálculos sean correctos, pero a medio y largo plazo se equivocarán. Los pequeños errores de cálculo, conforme se desarrollan los acontecimientos, van teniendo mayor influencia en los resultados hasta llegar a desfigurarlos. Las actuaciones bienintencionadas se toparán, en principio, con los mismos inconvenientes ante el efecto multiplicador de los pequeños errores de cálculo sobre el sistema. Más ahora, que el efecto de la globalización trasforma al mundo en un sistema más sensible e inestable.

¿ Dignidad y estabilidad?
Aparte del factor puramente “físico”, de la incertidumbre, hay un elemento capital, en el desarrollo histórico, que el manipulador tiende a olvidar y que se alía con el “efecto de la mariposa” para desbaratar sus planes. Puede parecer poco científico, incluso irreal, pero, lejos de eso, obedece a una realidad constatable y sólida, y es un elemento esencial del factor humano: la dignidad humana. No actúa como motor de la historia sino más bien como “encauzador” del verdadero motor. Éste, por cierto, no es ajeno al egoísmo en sus más diversas formas, perversas en mayor o menor medida.
El poder egoísta tiende a pisarlo todo, sin ningún tipo de consideración. Es un elemento motriz burdo, como una tormenta. Pero a diferencia de la tormenta que actúa sin cortapisas, obedeciendo a leyes físicas y a condicionamientos puramente mecánicos, el poder siempre tiene enfrente a la dignidad de la persona. La pisará una y mil veces, la despreciará, pero al final la encontrará cara a cara, haciéndole frente, en el germen de toda revolución o cambio necesario. Y será capaz de reconducir la propia corriente de la historia. Esa es la diferencia entre los sistemas físicos, caóticos en el sentido en que pueden seguir muy distintas trayectorias de futuro, igualmente válidas, y el “sistema sensible” de la historia cuya única trayectoria final estable, después de cualquier cambio caótico, pasa por el respeto a la dignidad humana. El sentimiento que hace sentirnos únicos, diferentes, con un valor intrínseco, como centro que somos del mundo que percibimos, de nuestro mundo. Es un sentimiento universal y nace de la propia conciencia de ser.

Todos los amantes de la física y de la justicia podemos congratularnos de que un efecto físico “amigo” sea aliado de la justicia social contra los cálculos egoístas del poder. Esos cálculos, organizados por el más potente de los ordenadores que pueda existir en el futuro, son incapaces de recoger toda la información, potencialmente necesaria e influyente, en sus más pequeños detalles. Un simple vuelo, no previsto, no calculado, de una insignificante mariposa podrá desbaratar los planes más perfectos y meditados. Ese simple vuelo será también capaz de desbaratar los planes bienintencionados que traten de controlar cualquier crisis si no cuentan con el factor de estabilización que introduce, en infinidad de puntos inestables, el respeto a la dignidad personal.

Post sacado de mi colaboración con Libro de notas, Ciencias y letras.

2016/09/26

Fractales, física clásica y nuevas teorías (II)


¿La energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tiene estructura prefractal? (**Nota**)
Detrás de esta sencilla hipótesis quizás podamos encontrar seis dimensiones compactadas y el origen de la energía oscura.

Como se comentaba en la anterior entrada, en la naturaleza observamos una geometría diferente a la euclidea, mucho más cercana a la que el matemático Benoît Mandelbrot llamó geometría fractal. Aunque en ella, lógicamente, el fractal puramente matemático no se puede dar pues su estructura no se puede repetir en un número infinito de escalas. Por esa razón se llama prefractal, es decir fractal en un número finito de escalas.


Concepto de estructura fractal
Fractal natural (prefractal)
Con los fractales, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.
Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

La curva de Koch
Los fractales  más sencillos, como la curva de Koch, nos enseñan lo fundamental de su esencia. En este  caso su característica más importante, su dimensión fractal, resulta de una relación entre dos cantidades escalares. En cada nueva iteración un segmento de medida tres es sustituido por otros cuatro segmentos de medida la unidad, tal como aparece en la figura. La relación (log 4)/(log 3) = 1,261859 … nos da la dimensión fractal de esa curva y determina su forma a todas las escalas.




En el vacío, la existencia del cuanto de acción, que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas, obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal (prefractal), lejos de la continuidad clásica (Esta es una hipótesis de la que se parte: Estructura fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío. El planteamiento es mucho más particular que el que representa la relatividad de escala de Laurent Nóttale). Hasta el punto de que las trayectorias de las partículas, electrones, protones, átomos, etc, ha dejado de ser una verdadera trayectoria para convertirse en curvas fractales de dimensión 2 (Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2). Por  ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.




Energía del vacío y curva de Koch
Las fluctuaciones cuánticas de energía del vacío no son simples variaciones sobre un fondo absoluto y estático, determinan la propia geometría del espacio, por lo que analizando su estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal que determinan. La forma en que se puede proceder a analizarlas es idéntica a como se determina la dimensión fractal de una costa o cualquier figura fractal sencilla como la curva de Koch. La pauta que nos guía, en nuestro caso, es la variación de la energía virtual de las fluctuaciones con la distancia. Desde distancias astronómicas hasta la longitud de Planck la energía asociada está siempre en proporción inversa a dicha distancia: si para una distancia D se le asocia una energía E, para una distancia 2D se le asocia una energía E/2.





En las curvas fractales analizamos la relación existente entre los segmentos característicos (escalares) que definen su construcción, en el vacío cuántico debemos tomar una relación entre dos magnitudes escalares capaces de definir la forma del espacio. Esas magnitudes que varían con la escala son los diferentes valores que toma la energía del vacío según como se mida. En la curva de Koch encontrábamos un valor 3 si mediamos la distancia AE en una dimensión (línea recta) y otro valor 4 si la mediamos en dos dimensiones, ABCDE.





Suponiendo una hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío

Podríamos tener algo similar:

Entre dos puntos arbitrarios A y E, en tres dimensiones, la energía de las fluctuaciones tendría un valor relacionado con el inverso de la distancia, entre dichos puntos. En nueve dimensiones (propuesta teoría de cuerdas) su valor estaría relacionado en proporción directa a la distancia (lo que se corresponde con el valor encontrado para la densidad de la energía oscura).





(Para seguir paso a paso el desarrollo de la hipótesis, sin hacer demasiado pesado el post, se puede visitar la página Mi_ciencia_abierta y de forma más sencilla el artículo de la revista Elementos, de la Universidad de Puebla, El sorprendente vacío cuántico)






Gravedad cuántica de bucles
Generalizando los resultados obtenidos, en base a ciertas aproximaciones y a las hipótesis de las que se parte, se puede llegar a los siguientes resultados:


A pesar de lo intrincadas e irregulares que son las fluctuaciones cuánticas su dependencia con el inverso de la distancia permite al vacío cuántico que se nos presente de forma, prácticamente, similar al vacío clásico a pesar de las tremendas energías a las que se encuentra asociado. En este efecto tuvo mucho que ver la particular geometría que, hipotéticamente,  adoptó nuestro Universo: 3 dimensiones espaciales ordinarias y 6 compactadas. Esta geometría y la propia naturaleza del cuanto de acción están íntimamente ligadas. Con otra geometría diferente las reglas de la mecánica cuántica en nuestro universo serían completamente diferentes.



La estabilidad del espacio-tiempo, de la materia y de la energía tal como los conocemos sería imposible y, a la postre, tampoco sería posible la belleza que esta estabilidad posibilita así como la propia inteligencia y armonía que, en cierta forma, subyace en todo el Universo.





En cierta forma, la malla que constituye el espacio-tiempo que supone la teoría llamada gravedad cuántica de bucles, en primera aproximación, estaría conformada por la energía de las fluctuaciones. Las nueve dimensiones espaciales de la teoría de cuerdas, admitiendo la hipótesis fractal de las fluctuaciones, configurarían esa dualidad de energías del vacío: en nuestro mundo tridimensional la energía del vacío depende del inverso de la distancia, en las nueve dimensiones (seis de ellas compactadas) daría lo que llamamos energía oscura, capaz de acelerar la expansión del universo.








(**Nota**) Un fractal matemático observa la misma estructura en infinitas escalas. En la naturaleza no se puede hablar de auto semejanza en infinitas escalas por lo que en lugar de  fractal se utiliza el término prefractal. En el caso de la energía cuántica del vacío estaríamos hablando de más de 50 órdenes de magnitud en el recorrido de las escalas, lo que supone un caso extraordinario en la naturaleza.

2016/09/14

Fractales, física clásica y nuevas teorías (I)


Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.

Mandelbrot, 1982, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature


Cristales de hielo de naturaleza prefractal
En la naturaleza que observamos a nuestro alrededor no solemos ver nada parecido a un cuadrado, a una esfera o a una línea recta. La geometría que nos ensañaron en la escuela en base a líneas rectas y figuras geométricas regulares sólo la encontramos en la realidad artificial que nos hemos construido y a pesar de eso, y gracias a la influencia que ha tenido en la educación su enseñanza desde Euclides, hemos creído en su existencia en un mundo ideal del que este sería una burda copia. En la naturaleza observamos una geometría diferente, mucho más cercana a la que el matemático Benoît Mandelbrot llamó geometría fractal.



En la física clásica, la que conocíamos hasta los comienzos del siglo XX, ocurría algo similar hasta que apareció la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad. La referencia inamovible del absoluto que suponía el espacio y el tiempo de la mecánica newtoniana desapareció, primero con la relatividad especial y después con la relatividad general. Previamente, en el campo matemático se desarrollaron geometrías no euclidianas durante el siglo XIX, por Gauss, Riemann o Lobachevsky, entre otros, cuya ayuda fue crucial para el desarrollo de las nuevas teorías físicas.



Geometría euclidiana y no euclidiana
Tenemos dos teorías soberbias sobre la realidad, la mecánica cuántica y la teoría de relatividad general. La mecánica cuántica es capaz de integrar tres de las cuatro fuerzas fundamentales que existen (electromagnetismo, nuclear fuerte y nuclear débil) y describir perfectamente la naturaleza microscópica de la materia, pero no la gravedad. Para explicar la gravedad en su menor detalle y los fenómenos de magnitud cósmica tenemos la relatividad general. Lo “bonito” sería una sola teoría para explicar las cuatro fuerzas fundamentales, lo que se suele llamar una teoría del todo, pero lo trágico es que no tenemos forma, hasta el momento, de conseguir esa belleza.



En este punto, alrededor de los años 80 del siglo XX, apareció la teoría de cuerdas  que propone que las partículas materiales aparentemente puntuales son en realidad estados de vibración  de un objeto más básico llamado cuerda. El gravitón, o partícula que expresa la fuerza de la gravedad, sería una cuerda vibrante cerrada, un bosón de spin 2. Pero uno de los principales problemas de esta teoría es que los modos de vibración de las cuerdas necesitan 9 dimensiones espaciales y una temporal, dimensiones que desde luego no observamos y que se supone están compactadas en un espacio diminuto del orden de la longitud de Planck. Después de unos 30 años esta teoría se resiste a ser demostrada y no ha predicho ningún efecto comprobable mediante experimento.


Teoría de cuerdas

Por la misma época que la teoría de cuerdas surgió una teoría llamada gravedad cuántica de bucles  (LQG, por Loop Quantum Gravity), supone que el espacio no es continuo sino que consta de una serie de pedacitos indivisibles de espacio-tiempo del tamaño de la longitud de Planck. Wikipedia:Estos átomos del espacio-tiempo forman una malla densa en cambio incesante que, en condiciones normales, nunca apreciaremos, pues el espaciado dentro de la malla es tan pequeño que nos parece ser un continuo. La LQG define el espacio-tiempo como una red de enlaces abstractos que conecta estos volúmenes de espacio.



Esta teoría, lejos todavía de ser una teoría completa, ha tenido muchos menos seguidores que la teoría de cuerdas, pero ha conseguido importantes éxitos en el estudio de los agujeros negros y evita singularidades al tratar de aplicar la relatividad general al Big Bang.








2016/08/15

Sobre lo clásico y lo cuántico


En la vida como en el mundo del conocimiento necesitamos un grado mínimo de estabilidad y certeza. Esa tendencia natural ha llevado a tratar de perpetuar lo establecido tanto en las costumbres como en el saber, pero, nos guste o no, el propio cambio es inherente en el proceso de la vida y en el del conocimiento. En el post sobre la geometría clásica euclidiana se comentaba esa resistencia al cambio que llevó a la Iglesia a considerar el saber clásico como saber divino tendiendo, por ello, a perpetuarlo como inmutable. Al final del siglo XIX los físicos se encontraban muy satisfechos con los importantes avances conseguidos hasta entonces, y muchos de ellos creían que se había llegado a una especie de final definitivo del conocimiento físico del mundo. Sin embargo, en apenas cinco años cambió todo con la teoría de la relatividad y el nacimiento de la mecánica cuántica.


Desde las certezas que parecía darnos la mecánica clásica de Newton sobre la posición, trayectoria y velocidad de cualquier partícula microscópica o cuerpo celeste se nos echaba en brazos de la indeterminación cuántica. Ya no podía conocerse simultáneamente la posición y la velocidad de una partícula con la infinita exactitud que se suponía, y el principio de indeterminación de Heisenberg parecía habernos desterrado del paraíso de las certidumbres clásicas. Pero ese paraíso nunca existió en realidad, desde un punto de vista puramente clásico se puede demostrar que la predictibilidad que se suponía a los sistemas clásicos nunca fue esencialmente cierta. Independientemente de la precisión con que conozcamos el estado inicial de un sistema clásico (no cuántico) las imprecisiones tienden a crecer, de forma natural, con el tiempo y nuestra información inicial puede llegar a ser inútil para predecir su evolución futura. La mecánica clásica no es tan predecible como podría parecer a primera vista. Esta impredecibilidad se advierte claramente en el llamado problema de los tres cuerpos y se acentúa de forma dramática en los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales (caóticos).

Imagen ilustrativa de la dualidad onda-partícula.

La estabilidad y cohesión que advertimos en la materia es resultado directo de fenómenos cuánticos, no podría conseguirse con las leyes de la mecánica clásica, que funcionan bien con la simplificación que supone tratar cuerpos compuestos por millones de partículas como si fueran puntuales. Esto es consecuencia de una propiedad esencial de los sistemas clásicos puesta de manifiesto por un hermoso teorema debido al matemático francés Joseph Liouville . El aparentemente simple equilibrio que se mantiene en un átomo entre los electrones y el núcleo sólo la mecánica cuántica es capaz de explicarlo, para la mecánica clásica el resultado sería catastrófico pues sus leyes lo impedirían.


La indeterminación cuántica y el sorprendente vacío cuántico, animado por un frenético baile de fluctuaciones y partículas virtuales, pueden explicarnos desde el propio nacimiento de todo el inmenso Universo a partir de la nada a los mecanismos básicos de la consciencia. Cuando pienso en el paso del viejo mundo de la mecánica clásica al nuevo de la mecánica cuántica, me viene a la memoria el cuento de la princesa desterrada del mundo de las hadas que apareció en el mundo real. Le costó entenderlo, pero cuando lo hizo se dio cuenta de que las simplezas de su viejo mundo eran completamente irreales y ya no podían llenar su vida.


El mundo de la imaginación, de los cuentos y las hadas, surge de las idealizaciones de nuestro mundo real. De forma parecida podría emerger lo clásico desde la realidad cuántica, una realidad directamente incomprensible para el sentido común que debe convertirse en clásica para que nuestra vida tenga sentido. El proceso es todavía desconocido, es una especie de paso mágico desde la coherencia cuántica, no local e indiferenciada, a la concreción que advierten nuestros sentidos. El desarrollo de la mecánica cuántica cuyo futuro está irremediablemente unido al de la relatividad general promete mostrarnos una realidad todavía más sorprendente.

He recuperado este post de mi colaboración con Libro de Notas, mis agradecimientos a Microsiervos que tuvieron el detalle de reseñarlo en su día. Unas felices vacaciones amigos.